编者：

我们的世界,是充满着差异的世界:处处有差异,时时有差异,事事有差异.

我们的世界,也是充满着共性的世界:处处有共性,时时有共性,事事有共性.

据说,大物理学家牛顿,少年时就指出,在一个一望无际的海滩上,你找不出两粒完全相同的沙子.这里不完全相同就是说的差异.但是,牛顿这句话同时也用了一个概念——沙子,在这个海滩上,沙子指的都是细小的小石子.这里就用了共性.

又据说,德国有个大哲学家,名叫黑格尔,

曾经提出这样一个问题:一支钢笔和一匹骆驼,相同之处是什么?可见,黑格尔的问题也是说事物的差异和共性.你能说出两者的共性吗?

再看一个例子:1,2,3,…,99,100,这100个数有没有差异?有没有共性?

1,2,3,…,99,99.9这100个数呢?

读

时时有差异,时时有共性,怎么理解?

编

好比张三,十岁的张三,百岁的张三,一个少年,一个老头儿,差异很明显.其实,恰好十周岁的张三和过了十周岁零一天的张三,虽然只相差一天,但身高、胖瘦以及发育程度必有所变化,变化就是差异.至于共性那就更多啦,除去身份证号码外,都有两个耳朵、两只眼睛、两只手、两只脚等.

可见,在我们的世界里,不仅差异之中必有共性,而且共性之中必有差异.差异离不开共性,共性也离不开差异.简言之,异中有同,同中有异.这就是我们的世界的本来面目.

认识世界,是人类的一大使命.所谓认识世界,是认识世界上的什么东西呢?无非是,异中之同或同中之异.

我们的数学教科书,也是我们的世界的一部分,因此,在数学教科书里,既充满着差异,也充满着共性.这里所说的数学教科书,可以是从小学到大学的全部教材,也可以是某一本或某一章节的教材.

这个差异和共性,多年来,相当多的学生根本没有自觉地意识到.所以,对知识理解得不全面、不清楚、不深刻,不会应用或用得不好.

因此,当我们学习数学时,既要看到其中的差异,又要看到其中的共性.

举一个简单的例子.让我们仔细看一看小学一年级的学生,对于自然数“5”是怎样学习的.

有一群东西,总数是“5”,世界上这样的东西有多少呢?太多太多啦!

五个学生,五张书桌,五把椅子,五本教科书,五支铅笔,五匹马,五头牛,五只羊,五个细胞,五个鸡蛋,五个星球等.

容易看出,群群有差异,群群有共性.六岁的孩子是怎样学习的呢?难道是教师把所有的这些东西都拿来让学生看吗?那绝对是办不到的,而且也没有这个必要.小学数学教科书上有一幅主题图,其中只画有五个学生、五张书桌、五把椅子、五本教科书、五支铅笔,让六岁的孩子观察,并提问他们:学生、书桌、椅子、教科书、铅笔,这些东西相同吗?彼此之间有没有差异?数量上有没有差异呢?是不是有共同性呢?

就这样,使孩子们认识了“5”.

这就是从差异到共性.

认识了“5”以后,再教学生做练习,再用“5”去描述五匹马、五头牛、五只羊等这些具有差异的新东西.

这就是从共性到差异.

这就是用共性去处理不同的新问题,解决了有差异的新问题.

这里,六岁的孩子认识“5”、应用“5”的过程,可以说是找共性、用共性的过程.

孩子们学习其他简单的自然数都是用同样的过程.

找共性　用共性

事实上,小学生每学习一节新课,就是学习新知识.学习新知识,就是找共性;讲例题、做练习,就是用共性.

中学生和大学生学习知识难道不是这样吗?

古今中外,那些大科学家,他们总结出规律性的成果,也是找到了共性;人们应用科技成果,提高生活水平,也就是用共性.

你们也许听说过数学中有个著名的问题叫作“哥德巴赫猜想”,它的内容是什么呢?请看下面的等式:

6=3+3,8=5+3,

10=3+7,12=5+7,

14=7+7,16=5+11,

18=11+7,20=13+7,

22=11+11,24=5+19.

很明显,以上任何两个等式都有差异,但是不难看出,大于或等于6的偶数,都可以写成两个质数的和.这个结果最早是哥德巴赫看出来的,所以叫作哥德巴赫猜想.很明显,他找到的也是共性.其实,如果一个人有找共性的习惯,即使是小学生也能看出这个结果吧!

总之,人们的一切活动,都离不开这两件事:找共性,用共性.

现在,从小学到中学再到大学,实际数学教育是个什么状况呢?美国国家研究委员会写的那份《人人关心数学教育的未来》的报告上说得很形象、很精辟:“当前的教育实践对学生学习来说,就像行进在一条长长的仅在末端设有暗淡灯光的地道中.”

这表明,美国的学生学习数学都在摸黑.摸黑是什么意思?我们认为,摸黑就是只见差异不见共性.咱们中国的情况跟美国一样,但是有一点尚不如人,人家对于这个问题敢于调查、敢于揭露、敢于正视、敢于承认,咱们还做不到.

读

美国人,他们怎么解决这个问题呢!

编

在《人人关心数学教育的未来》那份报告中,没有提出解决问题的办法.看来,他们也很难提出来.

读

咱们有解决问题的办法吗?

编

本书提出的基本方法就是试图解决这个问题,当然未必彻底,有点儿效果就好.基本方法,实际上就是找出的共性.从数学材料的差异中找出这个共性来.

读

听说咱们中国不是一个数学解题大国吗?

编

数学解题大国?光荣乎?耻辱乎?

读

怎么会这么说呢?实在是吃惊.

编

你认为呢?

读

当然是光荣啦.

编

我来问你,题海战术好不好?

读

当然不好.

编

数学解题大国难道不是题海战术大国吗?你也认为题海战术不好,但是这个不好体现在哪儿呢?

读

我不知道.您能说说吗?

编

只知做题,无视共性.我认为这就是题海战术不好的根本表现.当然,这是我一己之见,仅供参考.不找出题海战术不好的根源,空喊批判,批判一百年也没有用.

数学解题大国和数学大国的差异是很大的.从数学解题大国到数学大国的路还很长,和数学强国相比差得就更远了.